【題目】已知拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為.焦點為.

1)求證:拋物線Γ上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程:

2)請求出拋物線Γ的對稱性和范圍,并運用以上方程證明你的結(jié)論;

3)設(shè)垂直于軸的直線與拋物線交于兩點,求線段的中點的軌跡方程.

【答案】1)證明見解析(2)關(guān)于對稱.證明見解析(3(在拋物線內(nèi))

【解析】

1)由拋物線的定義可得|PF|ddP到準(zhǔn)線的距離),運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式,化簡可得所求軌跡方程;

2)由拋物線的方程的特點,考慮點關(guān)于直線yx的對稱點的特征和對稱軸與準(zhǔn)線和拋物線的交點的關(guān)系,以及直線和拋物線相切的特點,可得所求范圍;

3)設(shè)垂直于x軸的直線為xt,代入拋物線的方程x22xy+y28x8y0,運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式,以及參數(shù)方程化為普通方程可得所求軌跡方程.

1)拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為x+y+20,焦點為F1,1),

拋物線Γ上任意一點P的坐標(biāo)(x,y),由拋物線的定義可得|PF|ddP到準(zhǔn)線的距離),即為,兩邊平方化簡可得x22xy+y28x8y0;

2)拋物線關(guān)于yx對稱,頂點為(0,0),范圍為x1,y1,

由方程x22xy+y28x8y0,

設(shè)拋物線上任一點(x,y)關(guān)于直線yx對稱的點為(y,x),滿足原方程,

則拋物線關(guān)于直線yx對稱;

由直線y1x1yx,聯(lián)立x+y+20,解得xy=﹣1

可得拋物線的頂點為(0,0);

x=﹣1x22xy+y28x8y0聯(lián)立可得切點為(﹣1,3),

同樣由y=﹣1x22xy+y28x8y0聯(lián)立可得切點為(3,﹣1),

可得拋物線的范圍為x1,y1

3)設(shè)垂直于x軸的直線為xt,代入拋物線的方程x22xy+y28x8y0,

可得t2﹣(2t+8y+ t28t0

設(shè)At,y1),Bt,y2),可得y1+y22t+8,

AB的中點為(tt+4),

AB的中點的軌跡方程為直線yx+4(在拋物線內(nèi)).

練習(xí)冊系列答案
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(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值;

(2)(i)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;

(ⅱ)已知該小區(qū)年齡在[10,80]內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)。

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【題目】如圖1,在正方形中,的中點,點在線段上,且.若將 分別沿折起,使兩點重合于點,如圖2.

圖1 圖2

(1)求證:平面;

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【題目】已知平面向量,滿足:,的夾角為||5,的夾角為,||3,則的最大值為_____

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【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程為 .

1)求直線和曲線的普通方程;

2)已知點,且直線和曲線交于兩點,求 的值

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【題目】已知數(shù)列各項均為正數(shù),為其前項的和,且成等差數(shù)列.

1)寫出、的值,并猜想數(shù)列的通項公式

2)證明(1)中的猜想;

3)設(shè)為數(shù)列的前項和.若對于任意,都有,求實數(shù)的值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換得到曲線C2.以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)C2的普通方程;

(2)設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為,且曲線C3與曲線C2相交于M,N兩點,點P(10),求的值.

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【題目】設(shè)有二元關(guān)系,已知曲線.

1)若時,正方形的四個頂點均在曲線上,求正方形的面積;

2)設(shè)曲線軸的交點是,拋物線軸的交點是,直線與曲線交于,直線與曲線交于,求證直線過定點,并求該定點的坐標(biāo);

3)設(shè)曲線軸的交點是,可知動點在某確定的曲線上運動,曲線上與上述曲線時共有4個交點,其坐標(biāo)分別是、、,集合的所有非空子集設(shè)為,將中的所有元素相加(若只有一個元素,則和是其自身)得到255個數(shù),求所有正整數(shù)的值,使得是一個與變數(shù)及變數(shù)均無關(guān)的常數(shù).

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【題目】某學(xué)生對函數(shù)的性質(zhì)進行研究,得出如下的結(jié)論:

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是函數(shù)圖象的一個對稱中心;

函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱;

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其中正確命題的個數(shù)是( )

A.1B.2C.3D.4

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