Question

函數(shù)f（x）=a^x（0＜a＜1且a≠1）在[2，3]上的最大值與最小值之和為3a²，則a的值是（　�。�

• A、3
• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題要分兩種情況進(jìn)行討論：①0＜a＜1，函數(shù)y=a^x在[2，3]上為單調(diào)減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=a^x在[2，3]上的最大值與最小值和為3a²，求出a②a＞1，函數(shù)y=a^x在[2，3]上為單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=a^x在[2，3]上的最大值與最小值和為3a²，求出a即可．

解答： 解：①當(dāng)0＜a＜1時(shí)
函數(shù)y=a^x在[2，3]上為單調(diào)減函數(shù)
∴函數(shù)y=a^x在[2，3]上的最大值與最小值分別為a²，a³，
∵函數(shù)y=a^x在[2，3]上的最大值與最小值和為3a²，
∴a³+a²=3a²，
∴a=2（舍）
②當(dāng)a＞1時(shí)
函數(shù)y=a^x在[2，3]上為單調(diào)增函數(shù)
∴函數(shù)y=a^x在[2，3]上的最大值與最小值分別為a³，a²
∵函數(shù)y=a^x在[2，3]上的最大值與最小值和為3a²，
∴a³+a²=3a²，
∴a=2
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，但解題的關(guān)鍵要注意對(duì)a進(jìn)行討論，屬于基礎(chǔ)題．