Question

設(shè)m、t為實數(shù)，函數(shù)f(x)=

mx+t

x2+1

，f（x）的圖象在點M（0，f（0））處的切線的斜率為1．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若對于任意x∈[-1，2]，總存在t，使得不等式f（x）≤2t成立，求實數(shù)t的取值范圍；設(shè)方程x²+2tx-1=0的兩個實數(shù)根為a，b（a＜b），若對于任意x∈[a，b]，總存在x₁、x₂∈[a，b]，使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，記g（t）=f（x₂）-f（x₁），當g(t)=

5

時，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得f^′（0）=1即可求出m的值．
（2）根據(jù)f（x）=

x+t

x2+1

可得t≥

x

2x2+1

成立即t≥(

x

2x2+1

)min從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)s（x）=

x

2x2+1

的最小值者可利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性解決．而對于第二小問可根據(jù)對于任意x∈[a，b]，總存在x₁，x₂∈[a，b]使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立得出x₁，x₂分別是區(qū)間[a，b]f（x）的最小最大值點，然后利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的最大值點再代入到g（t）中結(jié)合a，b為方程x²+2tx-1=0的兩個實數(shù)根即可得解．

解答：解：（1）∵f(x)=

mx+t

x2+1

∴f^′（x）=

-mx2-2tx+m

(x2+1)2

∵函數(shù)f(x)=

mx+t

x2+1

，f（x）的圖象在點M（0，f（0））處的切線的斜率為1
∴f^′（0）=1
∴m=1
（2）由（1）知f（x）=

x+t

x2+1

∵對于任意x∈[-1，2]，總存在t，使得不等式f（x）≤2t成立
∴對于任意x∈[-1，2]，總存在t，使得不等式t≥

x

2x2+1

成立即t≥(

x

2x2+1

)min
令s（x）=

x

2x2+1

則s^′（x）=

-2x2+1

(2x2+1)2

∴當s^′（x）≥0時-

2

2

≤x≤

2

2

當s^′（x）≤0時x≤-

2

2

或x≥

2

2

而x∈[-1，2]故-1≤x≤-

2

2

或

2

2

≤x≤2
∴s（x）在[-1，-

2

2

]單調(diào)遞減，在（-

2

2

，

2

2

）單調(diào)遞增，在[

2

2

，2]單調(diào)遞減
∵s（-

2

2

）=-

2

4

，s（2）=

2

9

∴s（x）_min=-

2

4

∴t≥-

2

4

又由韋達定理可得a+b=-2t，ab=-1，b-a=2

t2+1

若對于任意x∈[a，b]，總存在x₁，x₂∈[a，b]使得f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，說明x₁，x₂分別是區(qū)間[a，b]f（x）的最小最大值點．
由（1）可得，f'（x）=

-x2-2tx+1

(x2+1)2

，注意h（x）=x²+2tx-1，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]
f'（x）≥0，f（x）遞增，則x₁=a，x₂=b
則g（t）=f（x₂）-f（x₁）=f（b）-f（a）=

b+t

b2+1

-

a+t

a2+1

=

ab(a-b)+(b-a)+t(a+b)(a-b)

(ab)2+(a+b)2-2ab+1

∵a+b=-2t，ab=-1，b-a=2

t2+1

∴g（t）=

t2+1

∵g(t)=

5

∴t=±2

點評：本題主要考查了導數(shù)求函數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)求函數(shù)的最大最小值問題，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是理解導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在某點處切線的斜率以及根據(jù)方程x²+2tx-1=0的兩個實數(shù)根為a，b（a＜b）得出x²+2tx-1≤0在區(qū)間[a，b]恒成立即f'（x）≥0進而求出了最大最小值點！