Question

一束光線(xiàn)l自A（-3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射線(xiàn)通過(guò)圓心C時(shí)，光線(xiàn)l的方程；
（2）求在x軸上，反射點(diǎn)M的范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用物理的光學(xué)知識(shí)可知入射光線(xiàn)上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)必在其反射線(xiàn)上，由于反射線(xiàn)過(guò)圓心，有光線(xiàn)的可逆性知，反射線(xiàn)上的任意點(diǎn)圓心關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)也必在入射光線(xiàn)上，然后由入射光線(xiàn)上已知兩點(diǎn)寫(xiě)出所求的直線(xiàn)方程；
（2）由題意和（1）可知反射線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)A′（次點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)），利用幾何知識(shí)知當(dāng)反射線(xiàn)與已知圓相切時(shí)恰好為范圍的臨界狀態(tài)．

解答：解：⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1
（1）C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′（2，-2），過(guò)A，C′的方程：x+y=0為光線(xiàn)l的方程．
（2）A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′（-3，-3），設(shè)過(guò)A′的直線(xiàn)為y+3=k（x+3），當(dāng)該直線(xiàn)與⊙C相切時(shí)，
有

|2k-2+3k-3|

1+k2

=1?k=

4

3

或k=

3

4

∴過(guò)A′，⊙C的兩條切線(xiàn)為y+3=

4

3

(x+3)，y+3=

3

4

(x+3)令y=0，得x1=-

3

4

，x2=1
∴反射點(diǎn)M在x軸上的活動(dòng)范圍是[-

3

4

，1]

點(diǎn)評(píng)：（1）次問(wèn)重點(diǎn)考查了物理學(xué)中光的知識(shí)，還考查了已知直線(xiàn)上的兩點(diǎn)求解直線(xiàn)的方程；
（2）次問(wèn)重點(diǎn)考查了點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的求法，還考查了解決問(wèn)題是抓住臨界狀態(tài)這一特殊位置求解的思想．