Question

(本小題滿(mǎn)分12分)已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(xiàn)。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線(xiàn)，與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)是，求。

Answer 1

依題意，圓M的圓心，圓N的圓心，故，由橢圓定理可知，曲線(xiàn)C是以M、N為左右焦點(diǎn)的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為；
（2）對(duì)于曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，由于（R為圓P的半徑），所以R=2，所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為；
若直線(xiàn)l垂直于x軸，易得；
若直線(xiàn)l不垂直于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，解得，故直線(xiàn)l：；有l(wèi)與圓M相切得，解得；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程解得；同理，當(dāng)時(shí)，.

（1）根據(jù)橢圓的定義求出方程；（2）先確定當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為，再對(duì)直線(xiàn)l進(jìn)行分類(lèi)討論求弦長(zhǎng).
本題考查橢圓的定義、弦長(zhǎng)公式、直線(xiàn)的方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、化簡(jiǎn)能力以及數(shù)形結(jié)合的能力.