Question

【題目】在數(shù)列中，，且對(duì)任意，成等差數(shù)列，其公差為.

（1）若，求的值；

（2）若，證明成等比數(shù)列（）；

（3）若對(duì)任意，成等比數(shù)列，其公比為，設(shè)，證明數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1），.（2）見證明；（3）見證明；

【解析】

（1）由成等差數(shù)列且公差為2可計(jì)算的值.

（2）由可得，再根據(jù)得到，從而可證成等比數(shù)列.

（3）利用成等比數(shù)列且公比為可得，對(duì)該遞推關(guān)系變形后可得為等差數(shù)列.

（1）因?yàn)閷?duì)任意，成等差數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列且公差為2，

故，故.

（2）證明：由題設(shè)，可得，.所以

，

由得，，

從而，所以.

于是，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，成等比數(shù)列.

（3）由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，

可得，所以，

當(dāng)時(shí)，可知，，

從而，即，

所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.