Question

11．已知函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0\;，\;\;ω＞0\;，\;\;|φ|＜\frac{π}{2}}）$在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)$（{0\;，\;\;\sqrt{3}}）$，A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為高為$2\sqrt{3}$的正三角形．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{2}{3}\;，\;\;\frac{4}{3}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）將y=f（x）的圖象所在點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ（θ＞0）的單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象．若y=g（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為$（{\frac{2}{3}\;，\;\;0}）$，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求A，ω和φ的值，
（2）根據(jù)三角函數(shù)的解析式，求出角的范圍即可求出函數(shù)的值域，
（3）利用三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出g（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC為高為$2\sqrt{3}$的正三角形，
∴A=2$\sqrt{3}$，
則sin60°=$\frac{2\sqrt{3}}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則AB=BC=4，
即函數(shù)的周期T=2BC=8=$\frac{2π}{ω}$，
則ω=$\frac{π}{4}$，
此時(shí)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
∵圖象過(guò)點(diǎn)$（{0\;，\;\;\sqrt{3}}）$，
∴f（0）=2$\sqrt{3}$sinφ=$\sqrt{3}$，
則sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
即A=2$\sqrt{3}$，ω=$\frac{π}{4}$，φ=$\frac{π}{6}$；
（2）由（1）得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$），
當(dāng)$x∈[{-\frac{2}{3}\;，\;\;\frac{4}{3}}]$時(shí)，
即-$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{4}{3}$，
則0≤$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為2$\sqrt{3}$，
當(dāng)$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{6}$=0時(shí)，函數(shù)取得最小值為0，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2$\sqrt{3}$]；
（3）將y=f（x）的圖象所在點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ（θ＞0）的單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象．
即g（x）=2$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{4}$（x+θ）+$\frac{π}{6}$]=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$θ+$\frac{π}{6}$），
若y=g（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為$（{\frac{2}{3}\;，\;\;0}）$，
即$\frac{π}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{π}{4}$θ+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z
則θ=4k-$\frac{4}{3}$，k∈Z．
∵θ＞0，∴當(dāng)k=1時(shí)，θ取得最小值此時(shí)θ的最小值為4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．