精英家教網(wǎng)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AC,F(xiàn)為BB1上一點(diǎn),BF=BC=2,F(xiàn)B1=1,D為BC中點(diǎn),E為線段AD上不同于A、D的任意一點(diǎn),
(1)證明:EF⊥FC1;
(2)若AB=
2
,是否存在點(diǎn)E滿足EF與平面FA1C1所成角為arcsin
30
6
,若存在,求點(diǎn)E到平面A1C1CA的距離;若不存在,說明理由.
分析:(1)由題意先證明AD⊥面B1BCC1,得AD⊥C1F;再利用Rt△DBF 1Rt△FB1C證明C1F⊥FD,可得C1F⊥面DEF;即可得證;
(2)先假設(shè)存在,建立坐標(biāo)系求出平面FA1C1的法向量,利用向量數(shù)量積列出EF與平面FA1C1所成角的余弦值求解即可.
解答:解:(1)∵AB=AC,D為BC中點(diǎn),∴AD⊥BC
∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱錐,∴B1B⊥面ABC
∴BB1⊥AD,BC∩BB1=B,
∴AD⊥面B1BCC1,C1F?面B1BCC1
∴AD⊥C1F;∵BC=BF=2,∴DB=1,又∵FB1=1
Rt△DBF 1Rt△FB1C,∴∠DBF+∠C1FB1=
π
2
,
∴∠DFC1=
π
2
∴C1F⊥FD,
∴C1F⊥面DEF,∴C1F⊥EF
(2)以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),A1B1、A1C1、A1A所在直線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
A1C1
=(0,
2
,0),
A1F
=(
2
,0,1),
設(shè)面A1FC1的法向量為
n
=(x,y,z),則有
n
A1C1
=0
,
n
A1F
=0可得
n
=(1,0,-
2
),D(
2
2
,
2
2
,3

設(shè)E(
2
2
t
2
2
t
,3)(0<t<1),
FE
=(
2
2
t
-
2
,
2
2
t
,2),由已知
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6
=
|
n
FE
|
|
n
|•|
FE
|

整理得2t2+t-3=0,解之得t=-
3
2
或t=1
∴不存在合適的點(diǎn)E.
點(diǎn)評(píng):本題先根據(jù)線面垂直的定義和判定定理證明線線垂直;對(duì)于線面角問題用向量求解要簡(jiǎn)單,此題需要
根據(jù)題意列出滿足題意的式子求解,判斷是否存在合適的點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:CF⊥BB1
(Ⅱ)求四棱錐A-ECBB1的體積;
(Ⅲ)判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,且D,E,F(xiàn)分別為BC,BB1,AA1的中點(diǎn).
(I) 求證:平面B1FC∥平面EAD;
(II)求證:BC1⊥平面EAD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知直三棱柱ABC-A′B′C′,AC=AB=AA′=2,AC,AB,AA′兩兩垂直,E,F(xiàn),H分別是AC,AB,BC的中點(diǎn),
(I)證明:EF⊥AH;    
(II)求四面體E-FAH的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線AB和C1D所成的角(用反三角函數(shù)表示);
(Ⅱ)若E為AB上一點(diǎn),試確定點(diǎn)E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC;M.N.P分別是棱BC.CC1.B1C1的中點(diǎn).A1Q=3QA, BC=
2
AA1

(Ⅰ)求證:PQ∥平面ANB1
(Ⅱ)求證:平面AMN⊥平面AMB1

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同步練習(xí)冊(cè)答案