【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),若對(duì)任意的恒成立,求整數(shù)的最小值;
(3)求證:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)2;(3)見(jiàn)證明
【解析】
(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)(x>0),討論a≥0,和a<0,由f′(x)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性;
(2)a≤0,不滿足f(x)≤0恒成立. a>0,由(1)求得函數(shù)的最大值,構(gòu)造函數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在定理求其最值的范圍,求得的最小值
(3)由(2)可知f(x)=lnx﹣2x2+1<0,得到ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>ex﹣x2+2x﹣1.
構(gòu)造u(x)=ex﹣x2+2x﹣1(x>0),利用兩次求導(dǎo)證明ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.
(1)解:f(x)=lnx-ax2+(-a+2)x+1,f′(x)2ax-a+2(x>0),
①若a≤0,則f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②若a>0,由f′(x)>0,得0<x;由f′(x)<0,得x.
∴函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減;
(2)若a≤0,則f(1)=-2a+3>0,∴不滿足f(x)≤0恒成立.
若a>0,由(1)可知,函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減.
∴,又f(x)≤0恒成立,
∴0,
設(shè)g(x)=lnx+x,則g()≤0.
∵函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(1)=1>0,g()0,
∴存在唯一的x0∈(),使得g(x0)=0.
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g(x)>0.
∴0x0,解得a≥∈(1,2),
又a∈Z,∴a≥2.
則綜上a的最小值為2;
(3)由(2)可知,a=2時(shí),f(x)=lnx﹣2x2+1<0,
∴lnx<2x2﹣1,則﹣xlnx>﹣2x3+x,
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1=ex﹣x2+2x﹣1.
記u(x)=ex﹣x2+2x﹣1(x>0),則u′(x)=ex﹣2x+2.
記h(x)=ex﹣2x+2,則h′(x)=ex﹣2,
由h′(x)=0,得x=ln2.
當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí),h′(x)<0,當(dāng)x∈(ln2,+∞)時(shí),h′(x)>0,
∴函數(shù)h(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,
.
∴h(x)>0,即u′(x)>0,故函數(shù)u(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴u(x)>u(0)=e0﹣1=0,即ex﹣x2+2x﹣1>0.
∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于,兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中,為了解居民對(duì)“創(chuàng)文”的滿意程度,組織居民給活動(dòng)打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù).滿分為100分).從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本.發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫(huà)出了樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形,回答下列問(wèn)題:
(1)算出第三組的頻數(shù).并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】5張獎(jiǎng)券中有2張是中獎(jiǎng)的,先由甲抽1張,然后由乙抽1張,抽后不放回,求:
(1)甲中獎(jiǎng)的概率;
(2)甲、乙都中獎(jiǎng)的概率;
(3)只有乙中獎(jiǎng)的概率;
(4)乙中獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓 (a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B. 已知橢圓的離心率為,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,且.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)直線l: 與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且l與直線AB交于點(diǎn)Q. 若 (O為原點(diǎn)) ,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某游戲公司對(duì)今年新開(kāi)發(fā)的一些游戲進(jìn)行評(píng)測(cè),為了了解玩家對(duì)游戲的體驗(yàn)感,研究人員隨機(jī)調(diào)查了300名玩家,對(duì)他們的游戲體驗(yàn)感進(jìn)行測(cè)評(píng),并將所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示,其中.
(1)求這300名玩家測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù);
(2)由于該公司近年來(lái)生產(chǎn)的游戲體驗(yàn)感較差,公司計(jì)劃聘請(qǐng)3位游戲?qū)<覍?duì)游戲進(jìn)行初測(cè),如果3人中有2人或3人認(rèn)為游戲需要改進(jìn),則公司將回收該款游戲進(jìn)行改進(jìn);若3人中僅1人認(rèn)為游戲需要改進(jìn),則公司將另外聘請(qǐng)2位專(zhuān)家二測(cè),二測(cè)時(shí),2人中至少有1人認(rèn)為游戲需要改進(jìn)的話,公司則將對(duì)該款游戲進(jìn)行回收改進(jìn).已知該公司每款游戲被每位專(zhuān)家認(rèn)為需要改進(jìn)的概率為,且每款游戲之間改進(jìn)與否相互獨(dú)立.
(i)對(duì)該公司的任意一款游戲進(jìn)行檢測(cè),求該款游戲需要改進(jìn)的概率;
(ii)每款游戲聘請(qǐng)專(zhuān)家測(cè)試的費(fèi)用均為300元/人,今年所有游戲的研發(fā)總費(fèi)用為50萬(wàn)元,現(xiàn)對(duì)該公司今年研發(fā)的600款游戲都進(jìn)行檢測(cè),假設(shè)公司的預(yù)算為110萬(wàn)元,判斷這600款游戲所需的最高費(fèi)用是否超過(guò)預(yù)算,并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列為等差數(shù)列,且,.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若對(duì)任意正整數(shù),不等式均成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知橢圓上任意一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn),的距離之和等于,焦距為2c,圓,,是橢圓的左、右頂點(diǎn),AB是圓O的任意一條直徑,四邊形面積的最大值為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,若直線與圓O相切,且與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),直線與平行且與橢圓相切于P(O,P兩點(diǎn)位于的同側(cè)),求直線,距離d的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),在定義域內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
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