Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=

2

，AA₁=2．
（1）證明：AA₁⊥BD
（2）證明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（3）求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，得到BD⊥AC，然后，得到A₁O⊥BD，最后，得到BD⊥面A₁AC即可；
（2）首先，得到A₁B₁∥AB AB∥CD，然后，得到四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，從而得到證明結(jié)論；
（3）直接根據(jù)體積公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）證明：∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又∵A₁O⊥平面ABCD且BD?面ABCD，
∴A₁O⊥BD，
又∵A₁O∩AC=O，A₁O?面A₁AC，AC?面A₁AC，
∴BD⊥面A₁AC，AA₁?面A₁AC，
∴AA₁⊥BD．

（2）∵A₁B₁∥AB，AB∥CD，
∴A₁B₁∥CD，
又A₁B₁=CD，
∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，
∴A₁D∥B₁C，同理A₁B∥CD₁，
∵A₁B?平面A₁BD，A₁D?平面A₁BD，CD₁?平面CD₁B₁，B₁C?平面CD₁B，
且A₁B∩A₁D=A₁，CD₁∩B₁C=C，
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁．

（3）∵A₁O⊥面ABCD，
∴A₁O是三棱柱A₁B₁D₁-ABD的高，
在正方形ABCD中，AO=1．
在Rt△A₁OA中，AA₁=2，AO=1，
∴A₁O=

3

，
∴V_{三棱柱ABD-A1B1D1}=S_△ABD•A₁O=

1

2

•（

2

）²•

3

=

3

∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積為

3

．

點評：本題考查了空間中點線面的位置關(guān)系，例如直線與平面平行、垂直，平面和平面平行等知識，屬于中檔題．