在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系、設(shè)曲線C參數(shù)方程為
x=
3
cosθ
y= sinθ
(θ為參數(shù)),直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=2
2

(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離.
分析:(1)利用兩角差的余弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的普通方程;利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,消去θ可得曲線C的普通方程.
(2)由點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和的正弦公式,及正弦函數(shù)的有界性求得點(diǎn)P到直線l的距離的最大值.
解答:解:(1)由ρcos(θ-
π
4
)=2
2
得   ρ(cosθ+sinθ)=4,∴直線l:x+y-4=0.
x=
3
cosθ
y= sinθ
得C:
x2
3
+y2=1

(2)在C:
x2
3
+y2=1
上任取一點(diǎn)P(
3
cosθ,sinθ)
,則點(diǎn)P到直線l的距離為
d=
|
3
cosθ+sinθ-4|
2
=
|2•sin(θ+
π
3
)-4|
2
|-2-4|
2
=3
2

∴當(dāng)sin(θ+
π
3
)
=-1,即θ=-
5
6
π
+2kπ,k∈z 時(shí),dmax=3
2
點(diǎn)評:本小題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識,具體涉及到極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化,點(diǎn)到直線距離公式、三角變換等內(nèi)容,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2cosx+1,2cos2x+2)和點(diǎn)Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動,動點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點(diǎn),R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設(shè)u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個(gè)m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個(gè)焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案