Question

15．判斷并證明函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（-∞，-1]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＜x₂≤-1，然后作差，變形，判定符號(hào)，證明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 解：f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂  
∵$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）-（{{x_1}+\frac{1}{x_1}}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$
由x₁＜x₂≤-1知，x₁x₂＞1，∴$1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，掌握證明步驟及變形是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．