Question

在四邊形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），點(diǎn)B在x軸上，BC∥AD，且對(duì)角線AC⊥BD．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是直線y=2x-5上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作點(diǎn)C的軌跡的兩切線PE、PF，E、F為切點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)．求證：PM⊥x軸；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，直線EF是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），再由共線向量定理求解．（Ⅱ）對(duì)函數(shù)y=

1

4

x2 求導(dǎo)得y′=

1

2

x．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，得切線方程．又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t-5），由切線過(guò)點(diǎn)P，得E，F(xiàn)所在的直線方程，由韋達(dá)定理求得M坐標(biāo)得證．（Ⅲ）先求得直線AB的方程為：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）當(dāng)x=4，y=5時(shí)，方程（*）恒成立，

解答：解：（Ⅰ）如圖，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y）（x≠0，y≠0），
則B(x，0)， 

AC

=(x，y)， 

BD

=(-x，4) ，
∵

AC

⊥

BD

，
∴x•（-x）+y•4=0，即y=

1

4

x2(x≠0)．
∴所求的軌跡T是除去頂點(diǎn)的拋物線（3分）
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)y=

1

4

x2 求導(dǎo)得，y′=

1

2

x．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0， 

1

4

x02)，則過(guò)該切點(diǎn)的切線的斜率是

1

2

x0，
該切線方程是y-

1

4

x02=

1

2

x0(x-x0)．
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2t-5），
∵切線過(guò)點(diǎn)P，
∴有2t-5-

1

4

x02=

1

2

x0(t-x0)，
化簡(jiǎn)，得x₀²-2tx₀+8t-20=0．（6分）
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1， 

1

4

x12)、(x2， 

1

4

x22)，
則x₁、x₂為方程x²-2tx+8t-20=0的兩根，x₁+x₂=2t，?x₁x₂=8t-20．
∴xM=

x1+x2

2

=t
因此，當(dāng)t=0時(shí)，直線PM與y軸重合，當(dāng)t≠0時(shí)，直線PM與y軸平行（9分）
（Ⅲ）∵yM=

1

2

(

1

4

x12+

1

4

x22)=

1

8

[(x1+x2)2-2x1x2]=

1

8

[4t2-2(8t-20)]=

1

2

t2-2t+5．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t，  

1

2

t2-2t+5)．
又∵kAB=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

1

4

(x1+x2)=

1

4

•2t=

1

2

t．
∴直線AB的方程為：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵當(dāng)x=4，y=5時(shí)，方程（*）恒成立，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)t，直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量法求軌跡方程，導(dǎo)數(shù)法求切線方程以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．