Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{e}}}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的零點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)的圖象，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過切線的斜率關(guān)系，求解新函數(shù)的極值，推出a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3個零點，就是函數(shù)y=e^x|x-1|，與函數(shù)y=2ax-3a有3個交點．
當(dāng)x＞1時y=e^x（x-1），是增函數(shù)．
x=0時，y=0．
當(dāng)x＜1時，函數(shù)y=e^x|x-1|=e^x（1-x），
y′=-xe^x，x＜0時，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x∈（0，1）時，函數(shù)是減函數(shù)，
函數(shù)y=e^x|x-1|的圖象如圖，設(shè)y=2ax-3a，與y=e^x（1-x）的切點為：（x，e^x（1-x）），
可得：$\frac{{e}^{x}（1-x）}{x-\frac{3}{2}}=2a$，x∈（0，1），
即a=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{2x-3}$，
a′=$\frac{[{e}^{x}（1-x）]′（2x-3）-2{e}^{x}（1-x）}{（2x-3）^{2}}$=$-\frac{{e}^{x}}{（2x-3）^{2}}$（2x²-5x+2），
令a′=0可得2x²-5x+2=0，解得x=$\frac{1}{2}$，x=2舍去．
x∈（0，$\frac{1}{2}$），a是減函數(shù)，x∈（$\frac{1}{2}，1$）時，a是增函數(shù)，a的最小值為：$\frac{{e}^{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}）}}{2×\frac{1}{2}-3}$=$-\frac{\sqrt{e}}{4}$．
可得a∈（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）
故答案為：（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想數(shù)形結(jié)合以及計算能力．