Question

【題目】在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為菱形，且，，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABC；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接BO，由于側(cè)面為菱形，，得，，由勾股定理得，，再由線面垂直的判定定理可得證；

（2）分別以為x軸，y軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由線面角的向量求解方法可求得直線與平面所成角的正弦值．

（1）連接BO，因?yàn)閭?cè)面為菱形，，

所以，因?yàn)辄c(diǎn)O為AC中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，是正三角形，

所以，且

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，，

平面ABC，平面ABC

所以平面ABC，

（2）分別以為x軸，y軸，軸的正方向，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，

則，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

，即，

令，則，，，

設(shè)直線與平面所成角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.