Question

19．（1）已知如圖1平面α，β，γ和直線l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求證：l⊥γ；
（2）已知如圖2平面α和β，直線l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求證：a∥l．

Answer 1

分析 （1）在平面內(nèi)γ任取一點P，過點P作PA⊥l₁，PB⊥l₂，A，B為垂足，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)與判定即可證明；
（2）利用線面平行的性質(zhì)定理及平行公理即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，在平面內(nèi)γ任取一點P，過點P作PA⊥l₁，PB⊥l₂，A，B為垂足，…（1分）
∵α∩γ=l₁，α⊥γ，PA?γ，∴PA⊥α
又∵l?α，∴PA⊥l…（3分）
同理：PB⊥l…（5分）
∴l(xiāng)⊥γ…（6分）

（2）過直線a作平面γ₁，γ₂使得α∩γ₁=l₁，β∩γ₂=l₂…（1分）
∵a∥α，α∩γ₁=l₁，a?γ₁，∴a∥l₁…（3分）
同理a∥l₂，∴l(xiāng)₁∥l₂，
又l₁?α，l₂?β，∴l(xiāng)₁∥β，∴l(xiāng)₁∥l…（5分）
∴a∥l…（6分）

點評 本題考查線面平行的性質(zhì)定理及平行公理、考查平面與平面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題．