Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）=x²-2x，x∈[2，4]
（1）求f（x），g（x）函數(shù)的值域；
（2）函數(shù)H（x）=f（x-c）+g（x+c）定義域為[8，10]，求c．
（3）函數(shù)H（x）=f（x-c）+g（x+c）（c≤0）的最大值為32，求c的值．

Answer 1

分析：（1）通過配方，利用區(qū)間和拋物線對稱軸之間的關(guān)系確定函數(shù)的值域．
（2）利用復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，去求c．
（3）先求出H（x）的表達式，利用函數(shù)的最大值為32，確定條件關(guān)系，然后求c．

解答：解（1）因為f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，函數(shù)f（x）的定義域為R，所以f（x）≥-1，
即函數(shù)f（x）的值域[-1，+∞）．
因為g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，且x∈[2，4]，所以g（x）的最大值為g（4）=8，最小值為g（2）=0，
所以g（x）的值域[0，8]..…..（4分）
（2）因為g（x），x∈[2，4]，所以要使H（x）由意義，設(shè)H（x）定義域M，
由題意得 M={x|2≤x+c≤4}，即M={x|2-c≤x≤4-c}，所以有2-c=8，所以c=-6．（4分）

(3)H(x)=f(x-c)+g(x+c) =(x-c)2-2(x-c)+(x+c)2-2(x+c) =2x2-4x+2c2，

由（2）知，當c≤0時，函數(shù)的定義域為[2-c，4-c]，
因為 c≤0，所以函數(shù)在[2-c，4-c]上單調(diào)遞增，
由已知函數(shù)H（x）=f（x-c）+g（x+c）的最大值32，所以H（4-c）=24，
有c²-3c-4=0，解得c=4或c=1．舍去c=4，所以c=1…．（4分）

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的定義域，配方法是解決二次函數(shù)最值問題的基本方法，要熟練掌握．