Question

3．如圖所示，矩形ABCD為本市沿海的一塊灘涂濕地，其中陰影區(qū)域有丹頂鶴活動，曲線AC是以AD所在直線為對稱軸的拋物線的一部分，其中AB=1km，BC=2km，現(xiàn)準備開發(fā)一個面積為0.6km²的濕地公園，要求不能破壞丹頂鶴活動區(qū)域．問：能否在AB邊上取點E、在BC邊上取點F，使得△BEF區(qū)域滿足該項目的用地要求？若能，請給出點E、F的選址方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 由題意可得：△BEF區(qū)域滿足該項目的用地要求等價于△BEF面積的最大值不小于0.6 km²，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，求出A，B，C，D的坐標，運用待定系數(shù)法求出曲線AC的方程，欲使得△BEF的面積最大，必有EF與拋物線弧AC相切，設(shè)出切點（t，2t²），0≤t≤1，
求出導數(shù)，可得切線的斜率和方程，求出三角形BEF的面積，設(shè)f（t）=$\frac{1}{2}$t³-2t²+2t，0＜t≤1，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值，且為最值，即可判斷是否滿足要求．

解答 解：△BEF區(qū)域滿足該項目的用地要求等價于△BEF面積的最大值不小于0.6 km²，
以A為原點，AB所在直線為x軸，
AD所在直線為y軸，
建立如圖所示平面直角坐標系，
則A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），
設(shè)曲線AC所在的拋物線的方程為x²=2py（p＞0），
代入點C（1，2）得p=$\frac{1}{4}$，
得曲線AC的方程為y=2x²（0≤x≤1），
欲使得△BEF的面積最大，必有EF與拋物線弧AC相切，
設(shè)切點為P（t，2t²），0≤t≤1，
由y=2x²得y′=4x，故點P（t，2t²）處切線的斜率為4t，
切線的方程為y-2t²=4t（x-t），
即y=4tx-2t²，
當t=0時顯然不合題意，故0＜t≤1，
令x=1得y_P=4t-2t²，令y=0得x_K=$\frac{1}{2}$t，
則S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{t}{2}$）（4t-2t²）=$\frac{1}{2}$t³-2t²+2t，
設(shè)f（t）=$\frac{1}{2}$t³-2t²+2t，0＜t≤1，
則f′（t）=$\frac{1}{2}$（3t-2）（t-2），
令f′（t）＞0得0＜t＜$\frac{2}{3}$，令f′（t）＜0得$\frac{2}{3}$＜t≤1，
故f（t）在（0，$\frac{2}{3}$）上遞增，在（$\frac{2}{3}$，1]上遞減，
故f（t）_max=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{16}{27}$，
而$\frac{16}{27}$＜0.6，故該方案所得△BEF區(qū)域不能滿足該項目的用地要求．

點評 本題考查拋物線的應用，考查拋物線的方程的求法和運用，考查轉(zhuǎn)化思想和導數(shù)的運用：求單調(diào)性和最值，考查運算能力，屬于中檔題．