Question

10．已知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（-cosx）dx，則（ax+$\frac{1}{ax}$）⁹展開(kāi)式中，x³項(xiàng)的系數(shù)為（　　）

• A． $\frac{63}{8}$
• B． $\frac{63}{16}$
• C． -84
• D． -$\frac{63}{8}$

Answer 1

分析 利用定積分的定義求出a的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：a═${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（-cosx）dx=-sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-1，
則二項(xiàng)式（ax+$\frac{1}{ax}$）⁹ =（-x-$\frac{1}{x}$）⁹=-（x+$\frac{1}{x}$）⁹，
x³項(xiàng)的系數(shù)為開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為
T_r+1=-${C}_{9}^{r}$•x^9-r•${（\frac{1}{x}）}^{r}$=-${C}_{9}^{r}$•x^9-2r，
令9-2r=3，求得 r=3，
∴展開(kāi)式中x³項(xiàng)的系數(shù)為
x的系數(shù)為-${C}_{9}^{3}$=-84，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算問(wèn)題以及二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．