已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離,等于它到直線
的距離.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)過點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線
,分別交曲線
于點(diǎn)
和
.
設(shè)線段,
的中點(diǎn)分別為
,求證:直線
恒過一個(gè)定點(diǎn);
(3)在(2)的條件下,求面積的最小值
(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,由題意得,
,
化簡(jiǎn)得,所以點(diǎn)
的軌跡
的方程為
.
(Ⅱ)設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為
,
,則點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.由題意可設(shè)直線
的方程為
,
由得
.
.
因?yàn)橹本€與曲線
于
兩點(diǎn),所以
,
.所以點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
由題知,直線的斜率為
,同理可得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
當(dāng)時(shí),有
,此時(shí)直線
的斜率
.
所以,直線的方程為
,
整理得.于是,直線
恒過定點(diǎn)
;
當(dāng)時(shí),直線
的方程為
,也過點(diǎn)
.
綜上所述,直線恒過定點(diǎn)
.
(Ⅲ),
面積
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“
”成立,所以
面積的最小值為
.
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(14分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離與到直線
的距離之比為
。
(I)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與曲線
在
軸左側(cè)交于不同的兩點(diǎn)
,點(diǎn)
滿足
,求直線
在
軸上的截距
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離與到直線
的距離之比為
。
(I)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程;(Ⅱ)若過點(diǎn)
的直線與曲線
在
軸左側(cè)交于不同的兩點(diǎn)
,點(diǎn)
滿足
,求直線
在
軸上的截距
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江蘇鹽城中學(xué)高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離等于它到直線
的距離,則點(diǎn)
的軌跡方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省高三5月高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離與到直線
的距離之比為定值
,記
的軌跡為
.
(1)求的方程,并畫出
的簡(jiǎn)圖;
(2)點(diǎn)是圓
上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過
作圓的切線交軌跡
于
,
兩點(diǎn).
(i)證明:;
(ii)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年重慶市高三高考前沖刺試卷文數(shù) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)
的距離比它到
軸的距離多
·
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為
,過點(diǎn)
的直線
與曲線
交于
兩點(diǎn),若
軸正半軸上存在點(diǎn)
使得
是以
為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求直線
的方程.
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