【題目】若存在實(shí)數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn).
(1)求證:的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)若實(shí)數(shù)滿足:求證:存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(3)給定實(shí)數(shù),若對(duì)于任意區(qū)間,是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),且不等式和不等式對(duì)于任意都恒成立,求證:
【答案】(1)證明過程見解析 (2)證明過程見解析 (3)證明過程見解析
【解析】
(1)先理解定義,再由已知證明的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)用作差法判斷的大小關(guān)系,得,結(jié)合(1)即可得證;
(3)由已知可得恒成立,由二次不等式恒成立問題可得,且,解得,同理,即可得解.
解:(1)①若是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),
則存在實(shí)數(shù)使得,則,
②若,取,則,且,
則是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),
故的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(2)由,,
則,由(1)知,存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn);
(3)因?yàn)?/span>是區(qū)間的一內(nèi)點(diǎn),則
則恒成立,
則恒成立,
當(dāng)時(shí),上式不可能恒成立,
因此,
所以,
即,即 ,
同理,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中,平面是線段上的動(dòng)點(diǎn),是線段上的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,且直線所成角的余弦值為,試指出點(diǎn)在線段上的位置,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了檢查生產(chǎn)產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本,測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.下表是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,下圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | 頻數(shù) |
9 | |
10 | |
17 | |
8 | |
6 |
乙流水線樣本的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)圖形,估計(jì)乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù);
(2)設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)一件合格品獲利100元,生產(chǎn)一件不合格品虧損50元,若某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了1000件產(chǎn)品,若將頻率視為概率,則該企業(yè)本月的利潤(rùn)約為多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面平面,為等邊三角形,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAD;
(2)求二面角P﹣BC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)分別作直線,交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為,,且,證明:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠家擬在2020年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元,滿足(為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件,已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件,該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)(萬(wàn)元)表示為年促銷費(fèi)用(萬(wàn)元)的函數(shù);
(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與橢圓有一個(gè)相同的焦點(diǎn),過點(diǎn)且與軸不垂直的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求拋物線的方程;
(2)試問直線是否過定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直.
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,成立,求a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)函數(shù)是否有極值?若有,求出極值;若沒有,說明理由.
(2)若對(duì)任意,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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