【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= x2﹣bx(b為常數(shù)).
(1)函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象相切,求實數(shù)b的值;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在定義域上存在單調減區(qū)間,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)若b≥2,x1 , x2∈[1,2],且x1≠x2 , 都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】
(1)解:因為f(x)=lnx,所以 ,因此f'(1)=1,
所以函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=x﹣1,
由 得x2﹣2(b+1)x+2=0.
由△=4(b+1)2﹣8=0,得 .
(還可以通過導數(shù)來求b)
(2)解:因為h(x)=f(x)+g(x)= (x>0),
所以 ,
由題意知h'(x)<0在(0,+∞)上有解,
因為x>0,設u(x)=x2﹣bx+1,因為u(0)=1>0,
則只要 ,解得b>2,
所以b的取值范圍是(2,+∞)
(3)解:不妨設x1>x2,
因為函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),
所以f(x1)>f(x2),
函數(shù)g(x)圖象的對稱軸為x=b,且b>2.
當b≥2時,函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),
所以g(x1)<g(x2),
所以|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|,
等價于f(x1)﹣f(x2)>g(x2)﹣g(x1),
即f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),
等價于h(x)=f(x)+g(x)= 在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),
等價于 在區(qū)間[1,2]上恒成立,
等價于 在區(qū)間[1,2]上恒成立,所以b≤2,又b≥2,所以b=2
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)根據(jù)二次函數(shù)的性質求出b的值即可;(2)求出h(x)的導數(shù),結合二次函數(shù)的性質得到關于b的不等式組,解出即可;(3)問題等價于f(x1)﹣f(x2)>g(x2)﹣g(x1),即h(x)=f(x)+g(x)= 在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調性求出b的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知整數(shù)n≥4,集合M={1,2,3,…,n}的所有含有4個元素的子集記為A1 , A2 , A3 , …, .
設A1 , A2 , A3 , …, 中所有元素之和為Sn .
(1)求S4 , S5 , S6并求出Sn;
(2)證明:S4+S5+…+Sn=10Cn+26 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是以O為中心的菱形,底面ABCD,,,M為BC上一點.
當BM等于多少時,平面POM?
在滿足的條件下,若,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段:,,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.
(I)調查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?
(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;
(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對任意的x,y∈(0,+∞),不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立,則正實數(shù)a的最大值是( )
A.
B.
C.e
D.2e
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【題目】交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分為五個級別,T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴重擁堵.早高峰時段(T≥3),從某市交通指揮中心隨機選取了三環(huán)以內的50個交通路段,依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如右圖. (Ⅰ)這50個路段為中度擁堵的有多少個?
(Ⅱ)據(jù)此估計,早高峰三環(huán)以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少?
(III)某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為36分鐘;中度擁堵為42分鐘;嚴重擁堵為60分鐘,求此人所用時間的數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某研究小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)之間的關系,統(tǒng)計得到1至6月份每月9號的晝夜溫差與因患感冒而就診的人數(shù)的數(shù)據(jù),如下表:
日期 | 1月9號 | 2月9號 | 3月9號 | 4月9號 | 5月9號 | 6月9號 |
10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 | |
22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該研究小組的研究方案是:先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求回歸方程,再用之前被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)若選取1月和6月的數(shù)據(jù)作為檢驗數(shù)據(jù),請根據(jù)剩下的2至5月的數(shù)據(jù),求出關于的線性回歸方程;(計算結果保留最簡分數(shù))
(2)若用(1)中所求的回歸方程作預報,得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過2人,則認為得到的回歸方程是理想的,試問該研究小組所得回歸方程是否理想?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=asinωx+bcosωx(0<ω<5,ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是 ,函數(shù)f'(x)的圖象的一個對稱中心是 ,則f(x)的最小正周期是( )
A.
B.
C.π
D.2π
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