Question

17．已知函數(shù)f（x）=ln（x+$\frac{a}{x}$-2）（a＞0）
（I）當1＜a＜4時，函數(shù)f（x）在[2，4]上的最小值為ln$\frac{3}{2}$，求a；
（Ⅱ）若存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2，利用導數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)符合函數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，即可求出a的值，
（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最小值，根據(jù)存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，得到a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令g（x）=x+$\frac{a}{x}$-2，
∴g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
∵x∈[2，4]，1＜a＜4，
∴x²-a＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2）=ln（2+$\frac{a}{2}$-2）=ln$\frac{3}{2}$，
∴a=3，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2）=ln（2+$\frac{a}{2}$-2）=ln$\frac{a}{2}$，
∵存在x₀∈（2，+∞），使得f（x₀）＜0，
∴l(xiāng)n$\frac{a}{2}$＜0=ln1，
∴0＜a＜2
故a的取值范圍為（0，2）

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及存在性問題的應用以及復合函數(shù)的單調(diào)性，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．