已知橢圓C的兩個焦點為F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P為橢圓上一點，滿足∠F1PF2=60°．
（1）當直線l過F1與橢圓C交于M、N兩點，且△MF2N的周長為12時，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面積．
分析：（1）由橢圓的定義，知|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，兩式相加得三角形的周長，從而求得a，b的值；得橢圓C的方程．
（2）在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2•|PF1|•|PF2|•cos60°，從而得|PF1|•|PF2|的值；再由正弦定理的推論，求得△PF1F2的面積．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）如圖所示，
由橢圓的定義，知|MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a，
∴（|MF1|+|MF2|）+（|NF1|+|NF2|）=4a；
即|MN|+|MF2|+|NF2|=4a=12，∴a=3；
又c=2
2
，∴b=1；所以，橢圓C的方程為
x2
9
+y2=1．
（2）在△PF1F2中，根據(jù)余弦定理，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2•|PF1|•|PF2|•cos60°；
∴（2c）2=（|PF1|+|PF2|）2-3•|PF1|•|PF2|=（2a）2-3•|PF1|•|PF2|；
∴32=36-3•|PF1|•|PF2|；即|PF1|•|PF2|=
4
3
，
所以，S△PF1F2=
1
2
•|PF1|•|PF2|•sin600=
1
2
×
4
3
×
3
2
=
3
3
．
點評：本題考查了橢圓的定義以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，解題時應(yīng)結(jié)合圖形，認真分析，細心解答．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設(shè)點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個交點，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），拋物線E以坐標原點為頂點，F(xiàn)2為焦點．直線l過點F2，且交y軸于D點，交拋物線E于A，B兩點若F1B⊥F2B，則|AF2|-|BF2|=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•潮州二模）已知橢圓C的兩個焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點A(1，
2
2
)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點B（2，0），設(shè)點P是橢圓C上任一點，求
PF
1•
PB
的取值范圍．

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