在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，(n∈N*)，點(diǎn)Pn在函數(shù)y＝x2(x≥0)的圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切．若x1＝1且xn+1＜xn．

(Ⅰ)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)圓Pn的面積為Sn，求證：

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)圓Pn與Pn+1彼此外切，令rn為圓Pn的半徑，

　　　　(2分)

　　兩邊平方并化簡得

　　由題意得，圓Pn的半徑

　　

　　為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

　　所以　　　　　　8分;

　　(Ⅱ)，　　　　　　　　　(10分)

　　

　　　　　　　　　(13分)

　　

　　所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　(16分)


提示：

本題主要考查圓的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)及不等式證明等基本知識(shí)，同時(shí)考查邏輯推理能力．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）…，Pn（xn，yn），…，（n∈N*），點(diǎn)Pn在函數(shù)y=x2（x≥0）的圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xnx1=1．
（I）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)圓Pn的面積為Sn，Tn=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求證：Tn＜
3
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{an}，當(dāng)n＞1時(shí)，求證：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）┉Pn（xn，yn），對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)Pn（xn，yn）位于函數(shù)y=x2（x≥0）圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸相切，又與⊙Pn+1外切，若x1=1，xn+1＜xn（n∈N+），則數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式xn=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),…，Pn(xn,yn),…,對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖象上，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1又彼此外切.若x1=1且xn+1＜xn?(n∈N*).

(1)求證：數(shù)列{1xn}是等差數(shù)列；

(2)設(shè)⊙Pn的面積為Sn,Tn=+…+,求證：Tn＜.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年浙江省溫州市搖籃杯高一數(shù)學(xué)競賽試卷（解析版） 題型：解答題

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足an≤=1，
求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜，（n≥2）
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{an}，當(dāng)n＞1時(shí)，求證：．

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