【題目】如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q,且0,若過 A,Q,F(xiàn)2三點的圓恰好與直線相切,過定點 M(0,2)的直線與橢圓C交于G,H兩點(點G在點M,H之間).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線的斜率,在x軸上是否存在點P(,0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍;如果不存在,請說明理由;(Ⅲ)若實數(shù)滿足,求的取值范圍.

    【答案】(1);(2);(3).

    【解析】

    試題(1)利用向量確定F1為F2Q中點,設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),因為AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,再由直線與圓相切得 解得c=1,利用橢圓基本量之間的關(guān)系求b;(2)假設(shè)存在,設(shè)方程,聯(lián)立方程組,消元后由判別式大于0可得出,又四邊形為菱形時,對角線互相垂直,利用向量處理比較簡單,,化簡得(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,再由 代入化簡得:

    解得,利用均值不等式范圍;(3) 斜率存在時設(shè)直線方程,聯(lián)立消元,,再由,進(jìn)行坐標(biāo)運算,代入化簡,分離k與,利用k的范圍求,注意驗證斜率不存在時情況.

    試題解析:(1)因為0,所以F1為F2Q中點

    設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),因為AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,

    且過A,Q,F(xiàn)2三點的圓的圓心為F1(-c,0),半徑為2c.

    因為該圓與直線L相切,所以 解得c=1,所以a=2,故所求橢圓方程為.(2)設(shè)L1的方程為y=kx+2(k>0)由得(3+4k2)x2+16kx+4=0,

    由△>0,得 所以k>1/2,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2=(x1+x2-2m,y1+y2=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)),由于菱形對角線互相垂直,因此所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0因為k>0,所以x2-x1≠0所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,所以

    ,解得, 因為k>0,所以故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是.(3)①當(dāng)直線L1斜率存在時,設(shè)直線L1方程為y=kx+2,代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 , 由△>0,得,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2), 則,又,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以x1=λx2, 所以,∴,整理得 ,因為, 所以 ,解得又0<λ<1,所以 .②當(dāng)直線L1斜率不存在時,直線L1的方程為x=0,

    span> ,,所以 .綜上所述,

    練習(xí)冊系列答案
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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    【題目】某工廠生產(chǎn)一批零件,為了解這批零件的質(zhì)量狀況,檢驗員從這批產(chǎn)品中隨機抽取了100件作為樣本進(jìn)行檢測,將它們的重量(單位:g)作為質(zhì)量指標(biāo)值.由檢測結(jié)果得到如下頻率分布直方圖.

    分組

    頻數(shù)

    頻率

    8

    16

    0.16

    4

    0.04

    合計

    100

    1

    1)求圖中的值;

    2)根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:零件重量小于47或大于53為不合格品,重量在區(qū)間內(nèi)為合格品,重量在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品.已知每件產(chǎn)品的檢測費用為5元,每件不合格品的回收處理費用為20元.以抽檢樣本重量的頻率分布作為該零件重量的概率分布.若這批零件共,現(xiàn)有兩種銷售方案:方案一:不再檢測其他零件,整批零件除對已檢測到的不合格品進(jìn)行回收處理,其余零件均按150/件售出;方案二:繼續(xù)對剩余零件的重量進(jìn)行逐一檢測,回收處理所有不合格品,合格品按150/件售出,優(yōu)質(zhì)品按200/件售出.僅從獲得利潤大的角度考慮,該生產(chǎn)商應(yīng)選擇哪種方案?請說明理由.

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    【題目】如題所示:扇形ABC是一塊半徑為2千米,圓心角為60°的風(fēng)景區(qū),P點在弧BC上,現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條三條商業(yè)街道PQQR、RP,要求街道PQAB垂直,街道PRAC垂直,直線PQ表示第三條街道。

    (1)如果P位于弧BC的中點,求三條街道的總長度;

    (2)由于環(huán)境的原因,三條街道PQ、PR、QR每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每千米300萬元、200萬元及400萬元,問:這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?(精確到1萬元)

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    【題目】月,中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國際社會認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了放射性物質(zhì)因衰變而減少這一規(guī)律.已知樣本中碳的質(zhì)量隨時間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足表示碳原有的質(zhì)量),則經(jīng)過年后,碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>________;經(jīng)過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在________年到年之間.(參考數(shù)據(jù):

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    (1)討論的單調(diào)性.

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    2)在滿足(1)的條件下,求四棱錐的體積.

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    ①存在點,使得平面平面;

    ②存在點,使得平面;

    ③若的面積為,則;

    ④若分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點,使得.

    A.1B.2C.3D.4

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    1)證明:平面.

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    2)若,點P的坐標(biāo)為,且,求k的值;

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