Question

在等比數(shù)列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+a₄=

15

8

，a₂a₃=-

9

8

，則

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

-

5

3

．

Answer 1

分析：當?shù)缺葦?shù)列{a_n}的公比q為1時，a₂=a₃，可得a₂a₃=a₂²大于0，與a₂a₃等于負值矛盾；故q不為1，利用等比數(shù)列的求和公式表示出a₁+a₂+a₃+a₄，又數(shù)列數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，可得{

1

an

}也為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式表示出所求的式子，表示出的兩式相除，化簡整理后再利用等比數(shù)列的通項公式變形得到其商等于a₂a₃的值，進而根據(jù)a₁+a₂+a₃+a₄與a₂a₃的值即可求出所求式子的值．

解答：解：若q=1，可得a₂=a₃，a₂a₃=a₂²＞0，不合題意；
∴q≠1，
∴a₁+a₂+a₃+a₄=

a1(1-q4)

1-q

，
又數(shù)列{

1

an

}表示首項為

1

a1

，公比為

1

q

的等比數(shù)列，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

1 a1 (1-  1 q4 )

1- 1 q

，
∵a₂a₃=-

9

8

，a₁+a₂+a₃+a₄=

15

8

，
兩式右邊相除得：

a1(1-q4) 1-q

1 a1 (1- 1 q4 ) 1- 1 q

=a₁²q³=a₂a₃=-

9

8

，
則

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

15 8

- 9 8

=-

5

3

．
故答案為：-

5

3

點評：此題考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的求和公式，其技巧性比較強，解題的思路是根據(jù)題意等比數(shù)列{a_n}得出數(shù)列{

1

an

}表示首項為

1

a1

，公比為

1

q

的等比數(shù)列，分別利用前n項和公式表示出兩關系式，然后兩關系式相除，得到的商與a₂a₃的值相等，進而求出所求式子的值．