Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（I）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)m的值和P的坐標(biāo)；
（II）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，過線段MN的中點(diǎn)作x軸的垂線分別與f（x）的圖象和g（x）的圖象交于S、T點(diǎn)，以S點(diǎn)為切點(diǎn)
作f（x）的切線l₁，以T為切點(diǎn)作g（x）的切線l₂，是否存在實(shí)數(shù)m，使得l₁∥l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)P（x₀，y₀），把P的坐標(biāo)代入到f（x）和g（x）中利用的函數(shù)值相等得到一個(gè)關(guān)系式記作①，又因?yàn)樵赑處有共同的切線，所以分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)分別代入到兩導(dǎo)函數(shù)中利用導(dǎo)函數(shù)值相等得到又一個(gè)關(guān)系式，由關(guān)系式解出m，記作②，將②代入①，把右邊變?yōu)?后，設(shè)左邊的關(guān)系式為h（x），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用x大于0得到導(dǎo)函數(shù)大于0，所以h（x）最多只有1個(gè)零點(diǎn)，觀察可得橫坐標(biāo)為1為零點(diǎn)，即可求出m的值，進(jìn)而求出此時(shí)P的坐標(biāo)；
（II）由第一問求得的m的值和P的坐標(biāo)，求出函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸，f（x）是固定不變的，所以將g（x）的對(duì)稱軸向右移動(dòng)，兩條曲線有不同的交點(diǎn)，即當(dāng)x=

1

2(m+1)

大于

1

2

列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到此時(shí)m的范圍，而當(dāng)m小于-1時(shí)，拋物線開口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；
（III）采用反證法證明，方法是：假設(shè)存在這樣的m，可設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M與N的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后把中點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入到f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)中即可求出兩切線方程的斜率，因?yàn)閮汕芯�平行，所以利用斜率相等得到一個(gè)關(guān)系式記作③，且把兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入到f（x）和g（x）中，并讓函數(shù)值相等，給③的兩邊同乘以x₁-x₂，得關(guān)系式④，把④化簡(jiǎn)后，設(shè)μ等于

x1

x2

大于1，得到關(guān)于μ的等式，移項(xiàng)后設(shè)h（μ）等于等式的左邊，求出h（μ）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)大于0，得到h（μ）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，故h（μ）＞h（1）=0，與剛才化簡(jiǎn)的等式④矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以不存在這樣的m，使l₁∥l₂．

解答：解：（I）設(shè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象的公共點(diǎn)為P（x₀，y₀），
則有l(wèi)nx₀=（m+1）x₀²-x₀①，
又在點(diǎn)P處有共同的切線，
∴f′(x0)=g′(x0)?

1

x0

=2(m+1)x0-1?m=

1+x0

2 x 2 0

-1，②
②代入①，得lnx0=

1

2

-

1

2

x0．
設(shè)h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x?h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)．
所以，函數(shù)h（x）最多只有1個(gè)零點(diǎn)，
觀察得x₀=1是零點(diǎn)，故m=0．
此時(shí)，點(diǎn)P（1，0）；
（II）根據(jù)（I）知，當(dāng)m=0時(shí)，兩條曲線切于點(diǎn)P（1，0），
此時(shí)，變化的y=g（x）的圖象的對(duì)稱軸是x=

1

2

，
而y=f（x）是固定不變的，如果繼續(xù)讓對(duì)稱軸向右移動(dòng)，
即x=

1

2(m+1)

＞

1

2

，解得-1＜m＜0．兩條曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)m＜-1時(shí)，開口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合題意，
所以，有-1＜m＜0；

（III）假設(shè)存在這樣的m，不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，
則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
以S為切線的切線l₁的斜率ks=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，
以T為切點(diǎn)的切線l₂的斜率kT=g′(

x1+x2

2

)=(m+1)(x1+x2)-1．
如果存在m，使得k_s=k_T，
即

2

x1+x2

=(m+1)(x1+x2)-1．③
而且有l(wèi)nx₁=（m+1）x₁²-x₁和lnx₂=（m+1）x₂²-x₂．
如果將③的兩邊同乘以x₁-x₂，得
④

2(x1-x2)

x1+x2

=(m+1)(

x

2 1

-

x

2 2

)-(x1-x2)，
即

2(x1-x2)

x1+x2

=[(m+1)

x

2 1

-x1]-[(m+1)

x

2 2

-x2]=lnx1-lnx2=ln

x1

x2

，
也就是ln

x1

x2

=

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

．
設(shè)μ=

x1

x2

＞1，則有lnμ=

2(μ-1)

1+μ

(μ＞1)．
令h(μ)=lnμ-

2(μ-1)

1+μ

（μ＞1），則h′(μ)=

1

μ

-

4

(1+μ)2

=

(μ-1)2

μ(1+μ)2

．
∵μ＞1，∴h'（μ）＞0．
因此，h（μ）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，故h（μ）＞h（1）=0．
∴lnμ＞

2(μ-1)

1+μ

(μ＞1)⑤
∴④與⑤矛盾．
所以，不存在實(shí)數(shù)m使得l₁∥l₂．

點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)討論根的存在性并會(huì)判斷根的個(gè)數(shù)，掌握反證法的證明方法，是一道比較難的題．