已知橢圓數(shù)學(xué)公式的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,點(diǎn)P在橢圓上,且△PF1F2的周長為6.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)P到直線l的距離為d,且M,O,P三點(diǎn)共線.求數(shù)學(xué)公式的最大值.

解:(I)由題意得2c=2,2a+2c=6.
解得a=2,c=1,
又b2=a2-c2=3,
所以橢圓C的方程為
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知,點(diǎn)M在x軸上,且與O點(diǎn)不重合,
顯然M,O,P三點(diǎn)不共線,不符合題設(shè)條件.
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0).
消去y整理得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.①
則△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
,
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為
∵M(jìn),O,P三點(diǎn)共線,
∴kOM=kOP,∴,
∵m≠0,∴
此時(shí)方程①為3x2-3mx+m2-3=0,
則△=3(12-m2)>0,得
x1+x2=m,
∴|AB|2=
=,
=,
==,
故當(dāng)時(shí),的最大值為
分析:(I)利用橢圓的定義和焦距的定義可得2c=2,2a+2c=6.解得a,c,再利用b2=a2-c2解出即可;
(II)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0).與橢圓的方程聯(lián)立,得到判別式△>0及根與系數(shù)的關(guān)系,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)M的坐標(biāo),利用M,O,P三點(diǎn)共線,得到kOM=kOP,解得k,再利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到|AB|2及d2,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值
點(diǎn)評(píng):熟練掌握橢圓的定義和焦距的定義及b2=a2-c2、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△>0及根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三點(diǎn)共線得到kOM=kOP、弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(0,-2
2
),F2(0,2
2
)
,離心率e=
2
2
3

(1)求橢圓的方程;
(2)一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-
1
2
,求直線l的傾斜角的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點(diǎn)(
5
2
,-
3
2
).
(2)已知拋物線焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年山東省高考模擬預(yù)測(cè)卷(四)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

給定橢圓  ,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足

(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)P作直線,使得直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

((本小題滿分14分)

給定橢圓  ,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足

(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程

(Ⅱ)試探究y軸上是否存在點(diǎn)(0, ),使得過點(diǎn)作直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.若存在,請(qǐng)求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)

給定橢圓  ,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足

(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程;

(Ⅱ) 過點(diǎn)P作直線,使得直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為.求出的值.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案