Question

14．設(shè)$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$為單位向量，其中$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=\overrightarrow{e_2}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，則$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$的夾角為60°，$|\overrightarrow a|$=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積公式和向量的模，計算即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$的夾角為θ，
∵$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=\overrightarrow{e_2}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，
∴（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=2cosθ+1=2，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤180°，
∴θ=60°，
∴$|\overrightarrow a|$²=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=4${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+4$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=4+4×$\frac{1}{2}$+1=7，
∴$|\overrightarrow a|$=$\sqrt{7}$，
故答案為：60°，$\sqrt{7}$

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)向量數(shù)量積先求出向量夾角是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．