Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+S_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2a₁=1，∴${a_1}=\frac{1}{2}$．…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+S_n=1及a_n-1+S_n-1=1，得a_n-a_n-1+S_n-S_n-1=0，
即2a_n=a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$．…（4分）
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．…（5分）
∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$．…（6分）
（2）由（1）得${b_n}=\frac{n}{2^n}$，${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$．…（8分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$．…（11分）
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．