Question

直線l與雙曲線

x2

2

-y2=1的同一支相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在直線y=2x上，則直線AB的斜率為（　�。�

• A、4
• B、2
• C、

  1

  2

• D、

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由線段AB的中點(diǎn)在直線y=2x上，推導(dǎo)出y₁+y₂=2（x₁+x₂），由此利用點(diǎn)差法能求出直線AB的斜率．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵線段AB的中點(diǎn)在直線y=2x上，
∴

y1+y2

2

=

x1+x2

2

×2，即y₁+y₂=2（x₁+x₂），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線

x2

2

-y2=1，
得

x12-2y12=2 x22-2y22=2

，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

2(y1+y2)

=

1

4

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．