Question

若函數(shù)滿足下列條件：在定義域內(nèi)存在使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)；反之，若不存在，則稱函數(shù)不具有性質(zhì).
（1）證明：函數(shù)具有性質(zhì)，并求出對應(yīng)的的值；
（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍；
（3）試探究形如①、②、③、④、⑤的函數(shù)，指出哪些函數(shù)一定具有性質(zhì)?并加以證明.

Answer 1

（1）證明：代入得：
即，解得
∴函數(shù)具有性質(zhì).
（2）解:的定義域?yàn)镽，且可得，
∵具有性質(zhì)，
∴存在，使得,代入得
化為
整理得: 有實(shí)根
①若,得，滿足題意；
②若,則要使有實(shí)根，只需滿足,
即，解得
∴ 
綜合①②,可得
（3）解法一：函數(shù)恒具有性質(zhì)，即關(guān)于的方程（*）恒有解.
①若，則方程（*）可化為
整理，得
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程（*）無解
∴不恒具備性質(zhì)；
②若，則方程（*）可化為，解得.
∴函數(shù)一定具備性質(zhì).
③若，則方程（*）可化為無解
∴不具備性質(zhì)；
④若，則方程（*）可化為，化簡得
當(dāng)時(shí)，方程（*）無解
∴不恒具備性質(zhì)；
⑤若，則方程（*）可化為，化簡得
顯然方程無解
∴不具備性質(zhì)；
綜上所述，只有函數(shù)一定具備性質(zhì).
解法二：函數(shù)恒具有性質(zhì)，即函數(shù)與的圖象恒有公共點(diǎn).由圖象分析，可知函數(shù)一定具備性質(zhì).
下面證明之：
方程可化為，解得.
∴函數(shù)一定具備性質(zhì).

略