Question

已知圓O：x²+y²=1，點(diǎn)P在直線x=

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上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓O上存在點(diǎn)Q，使∠OPQ=30°，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y₀的取值范圍是（　�。�

A．[-2，2]

B．[0，2]

C．[-1，1]

D．[0，1]

Answer 1

分析：圓O外有一點(diǎn)P，圓上有一動點(diǎn)Q，∠OPQ在PQ與圓相切時(shí)取得最大值．如果OP變長，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變�。�可以得知，當(dāng)∠OPQ=30°，且PQ與圓相切時(shí)，PO=2，而當(dāng)PO＞2時(shí)，Q在圓上任意移動，∠OPQ＜30°恒成立．因此滿足PO≤2，就能保證一定存在點(diǎn)Q，使得∠OPQ=30°，否則，這樣的點(diǎn)Q是不存在的；接下來進(jìn)行計(jì)算：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出OP的長，再把P的坐標(biāo)代入已知的直線方程中，用y₀表示出x₀，代入到表示出OP的長中，根據(jù)PO²≤4列出關(guān)于y₀的不等式，求出不等式的解集即可得到y(tǒng)₀的范圍．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²，
又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=

3

上，所以x₀=

3

，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即3+y₀²≤4，變形得：y₀²≤1，解得：-1≤y₀≤1，
即y₀的取值范圍是[-1，1]．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以及函數(shù)的定義域及其求法．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用幾何知識，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數(shù)的取值范圍．