Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，則當(dāng)x∈（0，

1

2

），不等式f（x）+2＜log_ax恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)抽象函數(shù)的定義，利用賦值法求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，
∴令y=0，x=1代入已知式子f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
得f（1）-f（0）=2，
∵f（1）=0，
∴f（0）=-2；
令y=0得f（x）+2=（x+1）x，
∴f（x）=x²+x-2．
當(dāng)x∈（0，

1

2

），不等式f（x）+2＜log_ax恒成立時(shí)，
即x²+x＜log_ax恒成立，
設(shè)g（x）=x²+x，在（0，

1

2

）上是增函數(shù)，
∴0＜g（x）＜

3

4

，
∴要使x²+x＜log_ax恒成立，
則log_ax≥

3

4

在x∈（0，

1

2

）恒成立，
若a＞1時(shí)，不成立．
若0＜a＜1，則有l(wèi)og_a

1

2

=

3

4

時(shí)，a=

3 4

4

，
∴要使log_ax≥

3

4

在x∈（0，

1

2

）恒成立，
則

3 4

4

≤a＜1，
故答案為：[

3 4

4

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題是解決此類問(wèn)題的基本方法．