設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；
分析：（1）要證明三角形是正三角形，從三角形的邊長(zhǎng)入手，根據(jù)三角形的模長(zhǎng)都是1，得到三個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，根據(jù)三個(gè)復(fù)數(shù)的和是0，得到其中一個(gè)復(fù)數(shù)可以用其他兩個(gè)來(lái)表示，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算律，得到任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模長(zhǎng)是相等的．
（2）根據(jù)三角形是一個(gè)正三角形，且邊長(zhǎng)已知，利用正弦定理表示出三角形的面積，計(jì)算得到結(jié)果．
解答：解：（1）∵|z1|=|z2|=|z3|=1
∴A，B，C三點(diǎn)都在單位圓上
∵A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0
∴z1=-（z2+z3）
∴1=z1
.
z1
=（z2+z3）（
.
z2
+
.
z3
）=
.
z2
z3+
.
z3
z2=-1，
∴|z2-z3|2=（z2-z3）（
.
z2
-
.
z3
）=3，
∴|z2-z3|=
3
，
同理可得|z1-z2|=|z1-z3|=
3
，
∴△ABC是內(nèi)接與單位圓的正三角形，
（2）S△ABC=
1
2
|AB|•|AC|sinA
=
1
2
•
3
•
3
•
3
2
=
3
3
4
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，考查三角形的面積，是一個(gè)綜合題，解題的關(guān)鍵是怎么證明三角形是正三角形，可以從邊長(zhǎng)入手，也可以從角度入手．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=
12
+bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是實(shí)數(shù)）對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn)．
證明：曲線：Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t  （t∈R）與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)A，B，C為單位圓O上不同的三點(diǎn)，則點(diǎn)集A={(x，y)|
OC
=x
OA
+y
OB
，0＜x＜2，0＜y＜2}所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為（　�。�
A、1
B、
3
2
C、2
D、
5
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第107-110課時(shí)）：第十四章 復(fù)數(shù)-復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算（解析版） 題型：解答題

設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3滿足z1+z2+z3=0，且|z1|=|z2|=|z3|=1
（1）證明：△ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；
（2）求S△ABC；

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案