【題目】如圖,平面,,點分別為的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若為線段上的點,且直線與平面所成的角為,求線段的長.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)連接,證得,利用用線面判定定理,即可得到;
(Ⅱ)以為原點,分別以的方向為軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標系,求得平面和平面法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.
(Ⅲ)設(shè),則,從而,
由(Ⅱ)知平面的法向量為,利用向量的夾角公式,得到關(guān)于的方程,即可求解.
(Ⅰ)連接,因為,所以,又因為,所以為平行四邊形.
由點和分別為和的中點,可得且,
因為為的中點,所以且,可得且,即四邊形為平行四邊形,所以,又,,
所以.
(Ⅱ)因為,,可以建立以為原點,分別以的方向為軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標系.
依題意可得,
.
設(shè)為平面的法向量,
則,即,不妨設(shè),可得
設(shè)為平面的法向量,
則,即,不妨設(shè),可得.
,于是.
所以,二面角的正弦值為.
(Ⅲ)設(shè),即,則.
從而.
由(Ⅱ)知平面的法向量為,
由題意,,即,
整理得,解得或,
因為所以,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是某機械零件的幾何結(jié)構(gòu),該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的,且前后,左右、上下均對稱,每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形,高為4,且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直.則這個幾何體的體積為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《山東省高考改革試點方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時,將A至E等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個分數(shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.
某校高一年級共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,169).
(Ⅰ)求物理原始成績在區(qū)間(47,86)的人數(shù);
(Ⅱ)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取3人,記X表示這3人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(附:若隨機變量,則,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩點,使得是以為直角頂點的直角三角形(其中為坐標原點),且斜邊的中點恰好在軸上,則實數(shù)的取值范圍是______.
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【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知:a5=2a2+3且a2,,a14成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)正項數(shù)列{bn}滿足bn2Sn+1=Sn+1+2,求證:b1+b2+…+bn<n+1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在貫徹中共中央、國務(wù)院關(guān)于精準扶貧政策的過程中,某單位在某市定點幫扶甲、乙兩村各50戶貧困戶為了做到精準幫扶,工作組對這100戶村民的年收入情況、勞動能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標x,將指標x按照分成五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
規(guī)定若,則認定該戶為“絕對貧困戶”,否則認定該戶為“相對貧困戶”,且當時,認定該戶為“低收入戶”;當時,認定該戶為“亟待幫助戶”,已知此次調(diào)查中甲村的“絕對貧困戶”占甲村貧困戶的24%.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與村落有關(guān);
甲村 | 乙村 | 總計 | |
絕對貧困戶 | |||
相對貧困戶 | |||
總計 |
(2)若兩村“低收入戶”中乙村“低收入戶”占比為,兩村“亟待幫助戶”中乙村“亟待幫助戶”占比為,且乙村貧困指標在上的戶數(shù)成等差數(shù)列,試估計乙村貧困指標x的平均值.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某省的高考改革方案,考生應(yīng)在3門理科學(xué)科(物理、化學(xué)、生物)和3門文科學(xué)科(歷史、政治、地理)的6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加考試.根據(jù)以往統(tǒng)計資料,1位同學(xué)選擇生物的概率為0.5,選擇物理但不選擇生物的概率為0.2,考生選擇各門學(xué)科是相互獨立的.
(1)求1位考生至少選擇生物、物理兩門學(xué)科中的1門的概率;
(2)某校高二段400名學(xué)生中,選擇生物但不選擇物理的人數(shù)為140,求1位考生同時選擇生物、物理兩門學(xué)科的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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