Question

（1）若不等式（a²-1）x²+2（a-1）x+4≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）若不等式x+2

2xy

≤a（x+y）對(duì)一切正數(shù)x、y恒成立，求正數(shù)a的最小值；
（3）若-3＜x＜1時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)由二次項(xiàng)系數(shù)大于0且判別式小于等于0得答案；
（2）x+2

2xy

≤a（x+y）對(duì)一切正數(shù)x、y恒成立，等價(jià)于a≥

x+2 2xy

x+y

對(duì)一切正數(shù)x、y恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0，換元后利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，進(jìn)一步求得最值；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0顯然成立，當(dāng)x≠0時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化為
a＜

6-4x

x2

+1，換元后配方求解a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，原不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式化為-4x+4≥0，不滿足題意，
當(dāng)a≠±1時(shí)，由

a2-1＞0 [2(a-1)]2-16(a2-1)≤0

，解得a≥1或a≤-

5

3

．
綜上，a∈（-∞，-

5

3

]∪[1，+∞）；
（2）∵x+2

2xy

≤a（x+y）對(duì)一切正數(shù)x、y恒成立，
∴a≥

x+2 2xy

x+y

對(duì)一切正數(shù)x、y恒成立，
令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．
令

y x

=t＞0，則g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，g′（t）=

-2( 2 t-1)(t+ 2 )

(1+t2)2

．
令g′（t）=0，解得t=

2

2

，可知當(dāng)t=

2

2

時(shí)，g（t）取得極大值即最大值，
g（t）=

1+2 2 × 2 2

1+( 2 2 )2

=2．
∴a≥2．即a的最小值為2；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0顯然成立，
當(dāng)x≠0時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化為，
a＜

6-4x

x2

+1，
即a＜

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，
∵-3＜x＜1且x≠0，
∴

1

x

＜-

1

3

或

1

x

＞1，
令t=

1

x

，則t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，
令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，
則根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，
f（t）在（-∞，-

1

3

）上遞減，在（1，+，∞）上遞增，且f（-

1

3

）=f（1）=3，
∴f（t）＞3，
∵當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，
∴a≤3．
∴a的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是壓軸題．