【題目】如圖,拋物線的準線為,取過焦點且平行于軸的直線與拋物線交于不同的兩點,過作圓心為的圓,使拋物線上其余點均在圓外,且.
(Ⅰ)求拋物線和圓的方程;
(Ⅱ)過點作直線與拋物線和圓依次交于,求的最小值.
【答案】(1) ,;(2)16.
【解析】試題分析:(1)通過平面幾何性質(zhì)及圓錐曲線定義求軌跡方程;(2)借助勾股定理及弦長公式表示目標,然后利用二次函數(shù)求最值.
試題解析:
(Ⅰ) 因為拋物線的準線為;
所以解得,所以拋物線的方程為.
當時,由得: ,不妨設(shè)在左側(cè),則,
由題意設(shè)圓的方程為: ,
由且知: ,
∴是等腰直角三角形且,
∴ , ,則,
∴ 圓的方程為: .
(Ⅱ)由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為: ,
圓心到直線的距離為: ,
∴.
由得: ,
設(shè),由拋物線定義有: ,
∴,
設(shè),則: 且,
∴ 當即時, 的最小值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=2x(1﹣x).
(1)在如圖所給直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的草圖,并直接寫出函數(shù)f(x)的零點;
(2)求出函數(shù)f(x)的解析式.
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【題目】【2017西安鐵一中五模】已知函數(shù),其中常數(shù).
(Ⅰ)討論在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)當時,若曲線上總存在相異兩點,使曲線在兩點處的切線互相平行,試求的取值范圍.
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【題目】已知圓為參數(shù)和直線 其中為參數(shù), 為直線的傾斜角.
(1)當時,求圓上的點到直線的距離的最小值;
(2)當直線與圓有公共點時,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在正方體中,棱長為1 ,點為線段上的動點(包含線段端點),則下列結(jié)論正確的______.
①當時, 平面;
②當時, 平面;
③的最大值為;
④的最小值為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga( +x)(其中a>1).
(1)判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)判斷 (其中m,n∈R,且m+n≠0)的正負,并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),且對任意的x1∈[﹣1,2],都存在x2∈[﹣1,2],使f(x2)=g(x1),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[ ,3]
D.(0, ]
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【題目】已知命題p:方程 =1表示雙曲線,命題q:x∈(0,+∞),x2﹣mx+4≥0恒成立,若p∨q是真命題,且綈(p∧q)也是真命題,求m的取值范圍.
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