【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為,動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求以為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程;
(Ⅲ)設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn),證明:線段的長(zhǎng)為定值,并求出這個(gè)定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)線段的長(zhǎng)為定值.
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)離心率,且過(guò)點(diǎn),解方程組得:
, ,所以橢圓方程為.(Ⅱ)以根據(jù)平面幾何得知識(shí),利用弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形可求半徑. (Ⅲ)過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足設(shè)為,由平面幾何知: ,根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系得: ,所以線段的長(zhǎng)為定值.
試題解析:(Ⅰ)由題意得,①
因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,②
又,③
由①②③解得, ,
所以橢圓方程為.
(Ⅱ)以為直徑的圓的圓心為,半徑,
方程為,
因?yàn)橐?/span>為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2,
所以圓心到直線的距離.
所以,解得,
所求圓的方程為.
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足設(shè)為,由平面幾何知: .
則直線: ,直線: ,
由得,
∴,
所以線段的長(zhǎng)為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其左頂點(diǎn)在圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),且直線與軸的交于點(diǎn),試問(wèn)的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=cos(2x+ ),x∈R的圖象,只需把函數(shù)y=cos2x的圖象( )
A.向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形, 面, 為的中點(diǎn)。
(1)證明: 平面;
(2)設(shè), ,三棱錐的體積 ,求A到平面PBC的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱底面,且, 是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求四棱錐的體積;
(Ⅱ)如果是的中點(diǎn),求證平面;
(Ⅲ)是否不論點(diǎn)在側(cè)棱的任何位置,都有?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和, 是等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓與圓
(1)若直線與圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn),求的最小值;
(2)直線上是否存在點(diǎn),滿足經(jīng)過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線和,它們分別與圓和圓相交,并且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)等于直線被圓所截得的弦長(zhǎng)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)在此期間開(kāi)展了一系列的讀書教育活動(dòng),為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖,若將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書謎”,低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書謎”
(1)求的值并估計(jì)全校3000名學(xué)生中讀書謎大概有多少?(將頻率視為概率)
(2)根據(jù)已知條件完成下面2×2的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書謎”與性別有關(guān)?
非讀書迷 | 讀書迷 | 合計(jì) | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合計(jì) |
附:.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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