【題目】函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f(2)= ,
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴ =﹣ ,
∴b=﹣b,
∴b=0
又∵f(2)= = ,
∴a=1,
∴函數(shù)f(x)=
(2)解:證法一:設(shè)任意﹣1<x1<x2<1,
∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,
∴f(x1)﹣f(x2)= ﹣
=
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù)
證法二:∵函數(shù)f(x)= ,
∴f′(x)= ,
當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí),
f′(x)>0恒成立,
∴f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù)
(3)解:由題意知f(t﹣1)+f(t)<0
∴f(t﹣1)<﹣f(t)
∴f(t﹣1)<f(﹣t)
∴﹣1<t﹣1<﹣t<1
∴0<t<
【解析】(1)由函數(shù)f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f(2)= ,求出a,b的值,可得函數(shù)f(x)的解析式;(2)證法一:設(shè)任意﹣1<x1<x2<1,求出f(x1)﹣f(x2),并判斷符號(hào),進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù);證法二:求導(dǎo),并分析出當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí),f′(x)>0恒成立,進(jìn)而得到f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數(shù)(3)不等式f(t﹣1)+f(t)<0可化為:﹣1<t﹣1<﹣t<1,解得答案.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較,以及對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,已知tanA,tanB是關(guān)于x的方程x2+(x+1)p+1=0的兩個(gè)實(shí)根.
(1)求角C;
(2)求實(shí)數(shù)p的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)、、,如果存在實(shí)數(shù)使得,那么稱為、的生成函數(shù).
(1) 下面給出兩組函數(shù), 是否分別為、的生成函數(shù)?并說明理由;
第一組: , ,
第二組: , , ;
(2) 設(shè), , ,生成函數(shù).若不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3) 設(shè), ,取,生成函數(shù)圖像的最低點(diǎn)坐標(biāo)為.若對(duì)于任意正實(shí)數(shù),且,試問是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個(gè)的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1的離心率為 ,焦距為2,右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得 為定值?若存在,求出定值和定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】連續(xù)2次拋擲﹣枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6).則事件“兩次向上的數(shù)字之和等于7”發(fā)生的概率為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是二次函數(shù),頂點(diǎn)為(﹣1,﹣4),且與x軸的交點(diǎn)為(1,0).
(1)求出f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=mx﹣1 , g(x)=﹣1+logmx(m>0,m≠1),有如下兩個(gè)命題:
p:f(x)的定義域和g[f(x)]的值域相等.
q:g(x)的定義域和f[g(x)]的值域相等.
則( )
A.命題p,q都正確
B.命題p正確,命題q不正確
C.命題p,q都不正確
D.命題q不正確,命題p正確
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m(0<m≤1).
(1)若x∈[0,m],證明:f(x)≤ ;
(2)求|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù),f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),則f(5)=( )
A.0
B.1
C.
D.5
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