Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若$sin（{\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且a+c=2，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（　　）

• A． （2，3]
• B． [3，4）
• C． （4，5]
• D． [5，6）

Answer 1

分析 由B和范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由題意和余弦定理化簡(jiǎn)后，由基本不等式求出ac的范圍，得到b的范圍，可求△ABC周長(zhǎng)的范圍．

解答 解：由0＜B＜π得，$\frac{π}{4}＜\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}＜\frac{7π}{4}$，
∵$sin（\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{3}{2}B+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}$，
解得B=$\frac{π}{3}$，
又a+c=2，由余弦定理可得，
b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-ac=4-3ac，
∵a+c=2，a+c≥2$\sqrt{ac}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∴0＜ac≤1，則-3≤-3ac＜0，
則1≤b²＜4，即1≤b＜2．
∴△ABC周長(zhǎng)L=a+b+c=b+2∈[3，4）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理，內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值，以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．