【題目】已知直線，圓.

（1）試證明：不論為何實(shí)數(shù)，直線和圓總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2），最短弦長(zhǎng)為4.

【解析】

（1）根據(jù)圓的方程，得到圓心坐標(biāo)與半徑，再由點(diǎn)到直線距離公式，求出圓心到直線的距離，比較與的大小，即可得出結(jié)果；

（2）先根據(jù)圓的性質(zhì)，得到弦長(zhǎng)（是圓的半徑，是圓心到直線的距離），由題意，得到直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，所求弦長(zhǎng)最短，從而可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)閳A的圓心為，半徑，

圓心到直線的距離，

而，即，

∴不論為何實(shí)數(shù)，直線和圓總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）根據(jù)圓的性質(zhì)可得：弦長(zhǎng)的一半，圓心到弦的距離，圓的半徑，三者滿(mǎn)足勾股定理；

即弦長(zhǎng)（是圓的半徑，是圓心到直線的距離），

而圓心，直線恒過(guò)點(diǎn)，

因此當(dāng)與直線垂直時(shí)，所求弦長(zhǎng)最短.

此時(shí)，，，

所求最短弦長(zhǎng)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)?/span>y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰在失事船的正南方向12海

里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；

（2）問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司對(duì)旗下的甲、乙兩個(gè)門(mén)店在1至9月份的營(yíng)業(yè)額（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并得到如圖折線圖.

下面關(guān)于兩個(gè)門(mén)店?duì)I業(yè)額的分析中，錯(cuò)誤的是( )

A.甲門(mén)店的營(yíng)業(yè)額折線圖具有較好的對(duì)稱(chēng)性，故而營(yíng)業(yè)額的平均值約為32萬(wàn)元

B.根據(jù)甲門(mén)店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，該門(mén)店?duì)I業(yè)額的平均值在[20，25]內(nèi)

C.根據(jù)乙門(mén)店的營(yíng)業(yè)額折線圖可知，其營(yíng)業(yè)額總體是上升趨勢(shì)

D.乙門(mén)店在這9個(gè)月份中的營(yíng)業(yè)額的極差為25萬(wàn)元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)電商已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的消費(fèi)方式為了更好地服務(wù)民眾，某電商在其官方APP中設(shè)置了用戶(hù)評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶(hù)對(duì)商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià)現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中隨機(jī)抽出200條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿(mǎn)意

合計(jì)

對(duì)商品狀況好評(píng)

100

20

120

對(duì)商品狀況不滿(mǎn)意

50

30

80

合計(jì)

150

50

200

（I）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系？

（Ⅱ）為了回饋用戶(hù)，公司通過(guò)APP向用戶(hù)隨機(jī)派送每張面額為0元，1元，2元的三種優(yōu)惠券用戶(hù)每次使用APP購(gòu)物后，都可獲得一張優(yōu)惠券，且購(gòu)物一次獲得1元優(yōu)惠券，2元優(yōu)惠券的概率分別是，，各次獲取優(yōu)惠券的結(jié)果相互獨(dú)立若某用戶(hù)一天使用了APP購(gòu)物兩次，記該用戶(hù)當(dāng)天獲得的優(yōu)惠券面額之和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)

P（K2≥k）

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：K2，其中n＝a+b+c+d

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)D，現(xiàn)將沿翻折至，使得平面平面.

（1）若Q為線段的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)E，使得二面角大小為.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E所在位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F是側(cè)面ACC1A1（包括邊界）上一點(diǎn)，若EF//平面BCC1B1，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是（ ）

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫(xiě)出曲線C1和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知P為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線C1的切線，切點(diǎn)為A，求|PA|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為橢圓的上頂點(diǎn)，P為橢圓E上異于上、下頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M為x軸的正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點(diǎn)M，求AP的長(zhǎng)．

②若，是否存在點(diǎn)N，滿(mǎn)足，且AN的中點(diǎn)恰好在橢圓E上？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示,平面多邊形中,AE=ED,AB=BD,且,現(xiàn)沿直線,將折起,得到四棱錐.

(1)求證: ;

(2)若,求PD與平面所成角的正弦值．

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