Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是R，且f（x）＞0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并給以證明．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用定義，結(jié)合題意即可證明結(jié)論成立．

解答 解：函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
證明如下：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則x₁-x₂＞0，
又x＞0時(shí)，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1；
又x∈R時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．