Question

已知定直線l：x=-1，定點(diǎn)F（1，0），⊙P經(jīng)過(guò)F且與l相切．
（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程．
（2）是否存在定點(diǎn)M，使經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，并且以AB為直徑的圓都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；若有，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓

分析：（1）由已知得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)AB的方程為x=my+n，代入拋物線方程整理，得：y²-4my-4n=0，由此利用韋達(dá)定理、直徑性質(zhì)能求出直線AB：x=my+4恒過(guò)M（4，0）點(diǎn)．

解答： 解：（1）由題設(shè)知點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)P到直線l的距離相等，
∴點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)AB的方程為x=my+n，
代入拋物線方程整理，得：
y²-4my-4n=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y1+y2=4m y1y2=-4n

，
∵以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴OA⊥OB，
∴y₁y₂+x₁x₂=0，∴y1y2+

y12

4

y22

4

=0，
∴y₁y₂=-16，
∴-4n=-16，解得n=4，
∴直線AB：x=my+4恒過(guò)M（4，0）點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．