Question

13．若點(diǎn)P是曲線y=e^x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-1的最小距離為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）與直線y=x-1平行且與曲線y=e^x相切的直線為y=x+m．y′=${e}^{{x}_{0}}$，令${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀，可得切點(diǎn)P，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）與直線y=x-1平行且與曲線y=e^x相切的直線為y=x+m．
y′=${e}^{{x}_{0}}$，令${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=0，可得切點(diǎn)P（0，1），
∴點(diǎn)P到直線y=x-1的最小距離d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．