在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則
AC
BC
=
AE
BE
．其證明過程如下：
作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴EG=EH．
又∵
AC
BC
=
AC•EG
BC•EH
=
S△AEC
S△BEC
，
AE
BE
=
AE•CF
BE•CF
=
S△AEC
S△BEC
，
∴
AC
BC
=
AE
BE

（1）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE

（2）證明你所得到的結(jié)論．
分析：三角形的內(nèi)角平分線定理類比到空間三棱錐，根據(jù)長度類比面積，從而得到
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE
．
解答：解：在平面中在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則
AC
BC
=
AE
BE
．
將這個結(jié)論類比到空間：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，
則類比的結(jié)論為根據(jù)面積類比體積，長度類比面積可得：
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE
，
證明：設(shè)點E到平面ACD、平面BCD的距離分別為h1、h2，則由平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，知h1=h2，
又
S△ACD
S△BCD
=
h1S△ACD
h2S△BCD
=
VA-CDE
VB-CDE
，
∴
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE
．
故答案為：
S△ACD
S△BCD
=
AE
BE
．
點評：本題考查了類比推理，將平面中的性質(zhì)類比到空間．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如圖2．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE與平面A1BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）當(dāng)D點在何處時，A1B的長度最小，并求出最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州二模）等邊三角形ABC的邊長為3，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，連結(jié)A1B、A1C （如圖2）．

（1）求證：A1D丄平面BCED；
（2）在線段BC上是否存在點P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為600？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則數(shù)學(xué)公式．其證明過程如下：
作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴EG=EH．
又∵數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式，
∴數(shù)學(xué)公式
（1）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是________
（2）證明你所得到的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在△ABC（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則
AC
BC
=
AE
BE
．其證明過程如下：
作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F，
∵CE是∠ACB的平分線，
∴EG=EH．
又∵
AC
BC
=
AC•EG
BC•EH
=
S△AEC
S△BEC
，
AE
BE
=
AE•CF
BE•CF
=
S△AEC
S△BEC
，
∴
AC
BC
=
AE
BE

（1）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A-BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A-CD-B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的結(jié)論是______
（2）證明你所得到的結(jié)論．

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