【題目】以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正方向?yàn)闃O軸,已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),C2的極坐標(biāo)方程為ρ2(1+sin2θ)=8,C3的極坐標(biāo)方程為θ=α,α∈[0,π),ρ∈R,
(1)若C1與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為A(異于O點(diǎn)),且|OA|= ,求α;
(2)若C1與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為A(異于O點(diǎn)),C2與C3的一個(gè)公共點(diǎn)為B,求|OA||OB|的取值范圍.

【答案】
(1)解:曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),則直角方程為(x﹣1)2+y2=1,

極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,聯(lián)立極坐標(biāo)方程 ,得 ,

由|OA|= =丨ρ1﹣ρ2丨=丨2cosα丨,

解得cosα=± ,則α= 或α=


(2)解:聯(lián)立C1與C3的極坐標(biāo)方程為 ,丨OB丨=丨ρ丨= ,

當(dāng)α= 時(shí),O與A重合,所以α≠ ,則

|OA||OB|=丨2cosα丨 =4 =4 =4 ,

∴|OA||OB|∈(0,4 ],

|OA||OB|的取值范圍∈(0,4 ].


【解析】(1)由曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程求得直角坐標(biāo)方程,即可求得極坐標(biāo)方程,與曲線(xiàn)C3聯(lián)立,即可求得ρ1,ρ2,由|OA|=丨ρ1﹣ρ2丨,即可求得α;(2)聯(lián)立C1與C3的極坐標(biāo)方程.即可求得丨OB丨,則|OA||OB|=丨2cosα丨 ,化簡(jiǎn)即可求得|OA||OB|的取值范圍.

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