Question

已知函數(shù)f（x）=，f（2）=，f′（2）=4，g（2）=1，g′（2）=3
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）當a=1時，函數(shù)h（x）=在點（2，h（2））處的切線能否與函數(shù)f（x）的圖象相切？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f^′（2）=4，f^′（x）=x²+2ax+b，∴2²+4a+b=4，解得b=-4a，
∴f^′（x）=x²+2ax-4a，△=4a²+16a=4（a²+4a）．
當△＞0時，即a＞0或a＜-4時，x_1，2=，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間：，．
當△≤0時，即-4≤a≤4時，f^′（x）≥0，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間：（-∞，+∞）．
（2）∵==1，即切點為（2，1）．
由，得=1，
所以，曲線h（x）在點（2，1）處的切線方程y=x-1．
當a=1時，b=-4．
由，∴，得c=2，
∴f（x）=，f^′（x）=x²+2x-4．
當f^′（x）=x²+2x-4=1，x²+2x-5=0，∴．
當時，．
而，y=x-1=-2．
所以函數(shù)在點（2，h（2））處的切線不能與函數(shù)f（x）圖象相切．
分析：（1）利用f^′（2）=4即可得到b=-4a，進而得到f^′（x）=x²+2ax-4a，通過對其△與0 的關系分類討論即可得出單調性；
（2）利用導數(shù)的幾何意義即可得出切線的方程；再求出切點坐標，比較函數(shù)值即可．
點評：本題綜合考查了導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、“三個二次”的關系、切線方程等基礎知識與方法．