設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cosx，g（x）=f（x）•f′（x）+[f（x）]2
（Ⅰ）求g（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
分析：（1）先求導(dǎo)，再利用倍角公式和兩角和的正弦公式即可化為g（x）=Asin（ωx+φ）+K的形式，即可求出其周期及最值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間．
解答：解：（1）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）+（sinx+cosx）2=cos2x+sin2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1．
∴T=
2π
2
=π．
當(dāng)2x+
π
4
=
π
2
+2kπ，即x=kπ+
π
8
（k∈Z）時(shí)，sin(2x+
π
4
)取得最大值1，
此時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值
2
+1．
（2）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ 解得-
3π
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ(k∈Z)，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]（k∈Z）．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖是函數(shù)Q（x）的圖象的一部分，設(shè)函數(shù)f（x）=sinx，g （ x ）=
1
x
，則Q（x）是（　　）
A、
f(x)
g(x)
B、f（x）g（x）
C、f（x）-g（x）
D、f（x）+g（x）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=
1
x
，如圖是函數(shù)F（x）圖象的一部分，則F（x）是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
bc
b2+c2-a2
=tanA
（1）求角A；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+2sinAcosx將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
1
2
，把所得圖象向右平移
π
6
個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱中心及單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•杭州一模）設(shè)函數(shù)f（x）=
sinx+cosx-|sinx-cosx|
2
（x∈R），若在區(qū)間[0，m]上方程f（x）=-
3
2
恰有4個(gè)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
[
5π
3
，
17π
6
)
[
5π
3
，
17π
6
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+ax+1．
（1）當(dāng)a=1，x∈[0，2π]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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